15wk: 기말고사

1. 다음을 읽고 참거짓을 판단하라. (30점)

(1) 유리수집합 \(\mathbb{Q}\)는 가산집합이며 유리수집합을 르벡메져로 측정하면 그 길이가 0이다. 즉 \(\lambda(\mathbb{Q})=0\) 이다.

True

True

(2) 르벡메져 \(\lambda\)는 \(\mathbb{R}\)의 모든 부분집합에 대하여 그 길이를 모순없이 정의가능하다. 즉 르벡메져는 \((\mathbb{R},2^{\mathbb{R}})\) 에서의 메져가 된다.

False # 비탈리집합

False

(3) 르벡메져 \(\lambda\)는 임의의 \(B \in {\cal R}\)의 길이를 모순없이 정의가능하다. 즉 르벡메져는 \((\mathbb{R},{\cal R})\) 에서의 메져가 된다.

True

True

(4) 집합 \(\Omega\)의 부분집합을 원소로 가지는 collection \({\cal F}\)를 고려하자. 만약에 \({\cal F}\)가 파이시스템이면서 동시에 람다시스템이라면 \({\cal F}\)는 시그마필드이다.

True

True

(5) 아래와 같은 함수 \(f\)를 고려하자.

\[f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{cases}\]

위의 함수에 대한 르벡적분값은 무한대이다. 즉 \(\int_{\mathbb{R}} f d\lambda = \infty\) 이다.

False

False

(6) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수라는 의미는 모든 \(B \in {\cal B}\) 에 대하여 \(\{\omega: X(\omega) \in B\} \in {\cal F}\) 를 만족한다는 의미이다.

None # 문제오류. ${\cal B}$가 아니라 ${\cal R}$ 

(7) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수라면 \(X\)에 대응하는 분포(distribution) \(\mu_X\)가 반드시 존재하며 \(\mu_X:=P \circ X^{-1}\)로 정의가능하다.

True

True

(8) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수이고, \(X\)에 대응하는 분포가 \(\mu_X\)라고 하자. \(\mu_X\)는 측도의 정의를 만족하지만 확률측도의 정의를 만족하지는 않는다.

False # 확률측도의 정의도 만족

False

(9) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수이고, \(X\)에 대응하는 분포가 \(\mu_X\)라고 하자. \(\mu_X\)에 대응하는 분포함수 \(F_X(x) = \mu_X((-\infty,x])\)는 항상 존재한다.

True

True

(10) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수이고 \(F_X\)가 \(X\)에 대응하는 분포함수라고 하자. 분포함수 \(F_X\)가 절대연속이라면 대응하는 \(X\)는 연속형확률변수이며 그 밀도함수 \(f_X\)가 존재한다.

False

False

2. 확률 (40점)

(1) \(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\},\Omega\}\) 이라고 하자. 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 아래와 같이 정의하자.

• \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
• \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
• \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
• \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
• \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)

\({\cal A}\)에서 \(\tilde{P}\)와 일치하는 확률메져 \(P\)가 가측공간 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\) 에서 유일하게 존재하는가?

(풀이)

유일하게 존재한다. \({\cal F}:=\sigma({\cal A})\)라고 하고 아래와 같은 함수 \(P: {\cal F} \to [0,1]\)를 고려하자.

• \(\forall A \in {\cal A}:~ P(A)=\tilde{P}(A)\)
• \(P(\{1,2\})=P(\{2,3,4\})=\frac{3}{4}\)
• \(P(\{1,3,4\})=\frac{1}{2}\)

\(P\)는 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 prob-msr 이다. 이때 \({\cal A}\)는 파이시스템이므로 \(P\)의 유일성이 보장된다.

(내풀이_라기보다는 교수님 연습문제)

\(\sigma({\cal A}) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \Omega \big\}\)

	\(P\)	\(\tilde{P}\)
\(\emptyset\)	\(0\)	\(0\)
\(\{1\}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)
\(\{2\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\{3,4\}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)
\(\Omega\)	\(1\)	\(1\)
\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(\{1,2\}\)	\(\frac{3}{4}\)	None
\(\{1,3,4\}\)	\(\frac{1}{2}\)	None
\(\{2,3,4\}\)	\(\frac{3}{4}\)	None

(2) \(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자. 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 아래와 같이 정의하자.

• \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
• \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/2\)
• \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 1/2\)
• \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)

\({\cal A}\)에서 \(\tilde{P}\)와 일치하는 확률메져 \(P\)가 가측공간 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\) 에서 유일하게 존재하는가?

(풀이)

\({\cal A}\)가 파이시스템이 아니므로 유일성을 보장할 수 없다.

반례를 위해서 \({\cal A}'=\{\emptyset, \{1,2\}, \{2,3\},\{2\},\Omega\}\)를 고려하자. \({\cal A}'\)은 세미알지브라가 되며, \({\cal A}'\)에서 정의된 아래와 같은 \(\tilde{P}_1,\tilde{P}_2\)를 고려하자.

• \(\forall A \in {\cal A}:~\tilde{P}_1(A)=\tilde{P}_2(A)=\tilde{P}(A)\)
• \(\tilde{P}_1(\{2\})=a\) and \(\tilde{P}_2(\{2\})=b\), where \(a,b \in [0,1/2]\) and \(a\neq b\).

\(\tilde{P}_1, \tilde{P}_2\)는 모두 \({\cal A}'\)에서 finite msr 이고¹, add를 만족하므로² 카라테오도리의 확장정리에 의하여 \(\tilde{P}_1\), \(\tilde{P}_2\)는 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\)에서의 유일한 extension \(P_1,P_2\)를 가진다. 그리고 이러한 \(P_1,P_2\)는 분명 \(A \in {\cal A}\)에서는 일치하지만 \(P_1(\{2\})\neq P_2(\{2\})\) 이다.

(내풀이_라기보다는 교수님 연습문제)

	\(P_1\)	\(P_2\)	\(\tilde{P}\)
\(\emptyset\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(\{1,2\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\{2,3\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\Omega\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(\{1\}\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	None
\(\{2\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	None
\(\{3\}\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	None
\(\{4\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	None
\(\{1,3\}\)	\(0\)	\(1\)	None
\(\{1,4\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	None
\(\{2,4\}\)	\(1\)	\(0\)	None
\(\{3,4\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	None
\(\{2,3,4\}\)	\(1\)	\(\frac{1}{2}\)	None
\(\{1,3,4\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	None
\(\{1,2,4\}\)	\(1\)	\(\frac{1}{2}\)	None
\(\{1,2,3\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	None

3. 확률변수, 밀도함수, 기대값 (30점)

아래와 같은 확률공간 \((\Omega,{\cal F},P)\)를 고려하라.

• \(\Omega=[0,2\pi)\)
• \({\cal F} = {\cal R}\cap [0,2\pi) := \{B\cap [0,2\pi): B \in {\cal R}\}\)
• \(\forall A \in {\cal F}:~ P(A)=\frac{\lambda (A)}{2\pi}\)

이것이 확률공간인 이유 (문제로 낼려다가..)

\((\Omega, {\cal F}, P)\)가 확률공간임을 보이기 위해서는 (1) \({\cal F}\)가 \(\sigma\)-field 이고 (2) \(P\)가 prob-msr on \((\Omega, {\cal F})\)임을 보이면 된다.

(1) \({\cal F}\) is \(\sigma\)-filed of \(\Omega\)

\({\cal F}\)는 \(\pi\)-system 이고 \(\lambda\)-system 이므로 시그마필드이다. (6주차 Dynkin’s \(\pi-\lambda\) theorem 증명을 위한 준비학습 참고)³

(2) \(P\) is prob-msr on \((\Omega, {\cal F})\)

\(\lambda\)가 \({\cal F}\)에서의 measure이므로, \(P:=\frac{1}{2\pi}\lambda\) 역시 \({\cal F}\)에서의 measure가 된다. 이때 \(P\)는 \(P(\Omega)=1\)을 만족하므로 prob-msr가 된다.

(1) 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\)을 아래와 같이 정의할때

\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega \in \Omega \cap \mathbb{Q}^c \\ 1 & \omega \in \Omega \cap \mathbb{Q} \end{cases}\]

\(X\)가 확률변수임을 보여라.

(풀이)

\(X\)는 simple function 이므로 확률변수이다.

(내풀이_틀릴수도)

확률변수임을 체크하기 위해서는

• \(B=\emptyset\)일 경우: \(\{w: X(w) \in \emptyset \} = \emptyset \in \sigma(A)\)

• \(B=\{0\}\)일 경우: \(\{w: X(w) \in \{0\} \} = [0,2\pi) \cap \mathbb{Q}^c \in \sigma(A)\)

• \(B=\{1\}\)일 경우: \(\{w: X(w) \in \{1\} \} = [0,2\pi) \cap \mathbb{Q} \in \sigma(A)\)

• \(B=\{0,1\}\)일 경우: \(\{w: X(w) \in \{0,1\} \} = [0,2\pi) \in \sigma(A)\)

(풀이 좀더 나아가서)

\(\forall B \in \cal R, X^{-1}(B) \in \cal F\)임을 보이자.

\(X^{-1}(B) = \{w|X(w) \in B \}\)이다.

1. \(0 \notin B and 1 \notin B\)이면 \(X(w)\)는 함수 정의에 의해 함수 값이 0 또는 1의 값을 가진다.

어떤 w에 대해서도 \(X(w) \notin B\)이다.

즉, \(X^{-1}(B) = \emptyset \in \cal F\)

2. \(0 \in B and 1 \notin B\)

그러면 \(X(w)=0\)인 경우는 \(X(w) \in B\)이고 \(X(w)=1\)인 경우는 \(X(w) \notin B\)이다.

따라서 \(X^{-1}(B) = \{w|x(w)=0\}\)이 된다.

\(X(w) = 0 \leftrightarrow w \in \Omega \cap \mathbb{Q}^c\)

\(X^{-1}(B) = \Omega \cap \mathbb{Q}^c \in \cal F\)

3. \(0 \notin B and 1 \in B\)

그러면 \(X^{-1}(B) = \Omega \cap \mathbb{Q} \in \cal F\)

4. \(0 \in and 1 \in B\)

그러면 \(X^{-1}(B) = \Omega \in \cal F\)

(2) \(\mu_X << \nu\) 를 만족하는 \(\sigma\)-finite measure \(\nu\) 를 가측공간 \((\mathbb{R}, {\cal R})\)에서 정의하고, \(\mu_X\)의 Radon-Nikodym derivative (w.r.t. \(\nu\))

\[f:=\frac{d\mu_X}{d\nu}\]

를 제시하라. 단, 여기에서 \(\mu_X : P \circ X^{-1}\) 이다.

(풀이)

아래가 성립함을 관찰하라.

\[P(X=1)=P(\{\omega: X(\omega) = 1\})=P(\Omega\cap \mathbb{Q}^c)=1\]

따라서 \(X\)에 대응하는 \(\mu_X\)와 \(F_x\)는 아래와 같다.

• \(\forall B \in {\cal R}:~\mu_X(B)=\begin{cases} 1 & 0 \in B \\ 0 & o.w \end{cases}\)
• \(F_X(x)= \begin{cases} 0 & x<0 \\ 1 & x\geq 0 \end{cases}\)

따라서 \(\nu=\mu_X\) 으로 설정하면 \(\mu_X<<\nu\) 가 성립하며 함수

\[f_X(x)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & o.w \end{cases}\]

는 \(\nu=\delta_0\)에 대한 \(\mu_X\)의 라돈니코딤 도함수이다. 즉 모든 \(B\in {\cal R}\)에 대하여

\[\mu_X(B)=\int_B f_X(x) d\nu\]

가 성립한다. (왜냐하면 \(0\in B\) 인 경우 양변이 모두 1로 같으며 \(0 \notin B\) 인 경우 양변이 모두 0으로 같기 때문)

(내풀이_틀릴수도)

\(X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega \in \Omega \cap \mathbb{Q}^c \\ 1 & \omega \in \Omega \cap \mathbb{Q} \end{cases}\)

\(X^{-1}(B_1) = \{w|X(w) \in B_1 \} = \Omega \cap \mathbb{Q}^c \rightarrow P(\Omega \cap \mathbb{Q}^c)=1\)

\(X^{-1}(B_2) = \{w|X(w) \in B_2 \} = \Omega \cap \mathbb{Q}\rightarrow P(\Omega \cap \mathbb{Q})=0\)

\(\nu(B) = \begin{cases} 0 & 0 \notin B \\ 1 & 0 \in B \end{cases}\) 라고 정의하자.

if \(\nu(B)=0 \rightarrow 0 \notin B \rightarrow \mu_X(B) = P \circ X^{-1}(B) = 0\)

\(\therefore \mu_X << \nu\)

라돈니코딤 도함수를 정의하기 위해

\(\forall B, \nu(B)=0 \rightarrow \mu_X(B)=0\)임을 보이자. (위에서 보임)

\(\nu(B) \neq 0\)인 것은 생각하지 않아도 된다.

\(\mu_X(B) = \int_B f d\nu\)가 되려면

만약 \(\nu(B) = 0 \rightarrow \int_B f d \nu = 0 \rightarrow \mu_X(B) = 0 \leftrightarrow \mu_X << \nu\) 이므로

=\(\int_B \dfrac{d \mu_X}{d\nu} d\nu= \int_B \dfrac{\lambda(X^{-1}(B))}{2\pi}dx\)

\(f(X) = \begin{cases} 1 & \mathbb{Q} \cap \Omega \\ 0 & \mathbb{Q}^c \cap \Omega \end{cases}\)

\(f=\frac{d\mu_X}{d\nu}=\frac{d}{d\nu}\int f d\nu\)

(3) \(X\)의 평균을 구하라. 즉 \(\mathbb{E}(X)\)를 계산하라.

(풀이)

\(\mathbb{E}(X) = \int X dP = \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}^c} 0 dP + \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}} 1dP =0\)

(내 풀이_틀릴수도)

\(E(X) = \int X dP = X(B_1) \times P(\{B_1\}) + X(B_2) \times P(\{B_2\})=0 \times 1 + 1 \times 0 = 0\)

\(E(X) = \int X dP = \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}^c} X dP + \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}} XdP= \int_{W \in \Omega} X(w)dP(w)= 1x0 + 0x1 = 0\)

\(X=0\)인 경우,

\[\int_{\Omega \cap \mathbb{Q}^c} X \, dP = \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}^c} 0 \, dP = 0\]

\(X=1\)인 경우,

\[\int_{\Omega \cap \mathbb{Q}} X \, dP = \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}} 1 \, dP = \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}} \frac{\lambda(A)}{2\pi} \, dA=\frac{0}{2\pi}=0\]

그러므로 기댓값은 0이다. \[\mathbb{E}(X) = \int X \, dP = \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}^c} X \, dP + \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}} X \, dP = 0 + 0 = 0\]

Footnotes

1. 그래서 \(\sigma\)-finite 함

2. finite 한 케이스이므로 additivity 가 \(\sigma\)-additive 를 imply함

3. 혹은 정석대로 시그마필드의 정의에 넣고 따져도 된다. 그런데 보통 그거보다 파이시스템과 람다시스템을 따지는게 더 편리하다.