RA

1

설명변수가 한 개인 단순선형회귀모형은 다음과 같이 정의한다.

(1)

\(\beta_0, \beta_1\)에 대한 최소제곱추정량 LSE \(\hat \beta_0, \hat \beta_1\) 을 구하여라

(2)

\(E(\hat \beta_1)\)과 \(Var(\hat \beta_1)\)를 구하여라

\(\hat \beta_1 = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{\sum ((x-\bar x)(y-\bar y))}{\sum(x-\bar x)^2}= \dfrac{\sum((x-\bar x)y - (x-\bar x) \bar y)}{\sum(x-\bar x)^2} = \dfrac{\sum(x-\bar x)y - \sum (x-\bar x) \bar y }{\sum(x-\bar x)^2} = \dfrac{\sum (x- \bar x)y}{S_{xx}}\)

\(\because \sum(x-\bar x ) = 0\)

\(\sum a_i = \dfrac{\sum (x- \bar x)}{S_{xx}}\)

\(E(\hat \beta_1) = E(\sum a y) = \sum E(y) = \sum a (\hat \beta_0 + \hat \beta_1 x) = \sum a (\bar y - \hat \beta_1 \bar x + \hat \beta_1 x) = \hat \beta_1\)

\(\because \sum a (\hat \beta_1(x - \bar x)) = \hat \beta_1 \dfrac{S_{xx}}{S_{xx}}=\hat \beta_1\)

\(\because \bar y \sum a = 0\) (분자가 0)

\(Var(\hat \beta_1) = Var(\sum ay) = (\sum a)^2 Var(y) = (\sum a)^2 \sigma^2 = (\dfrac{\sum (x- \bar x)}{S_{xx}})^2 \sigma^2 = \dfrac{1}{S_{xx}} \sigma^2\)

2

중회귀모형 \(y=X \beta + \epsilon, \epsilon \sim N(0_n, I_n \sigma^2)\)일 때, 적합된 모형 \(\hat y = X \hat \beta\)에 대하여 다음을 증명하여라.

단 \(y=(y_1, \dots, y_n)^T, O_n = (0, \dots, 0)^T, I_n\)는 \(n\times n\)단위행렬, \(X\)는 \(n \times (p+1)\)행렬이고, \(\text{rank(X)=p+1}\)이다.

그리고 \(e=y-\hat y\)이다.

(1)

\(\sum_{j=1}^n Var(\hat y_j) = (p+1)\sigma^2\)

(2)

\(Cov(e,y) = \sigma^2[I_n - X(X^TX)^{-1}X^T]\)

(3)

\(Cov(\epsilon, \hat \beta) = \sigma^2 X(X^T X)^{-1}\)

(4)

\(E(SSE) = \sigma^2 (n-p-1)\)

3

혈압이 체중과 성별에 따라 어떻게 달라지는가에 대한 모형을 적합하려고 한다. 주어진 데이터가 다음과 같을 때 아래의 물음에 답하라

혈압(y)	120	130	130	155	149	150	10	125	135	140
체중\((x_1)\)	70	60	88	101	80	98	90	77	65	70
성별\((x_2)\)	남	여	남	여	여	남	여	남	여	여

(1)

위의 데이터에 대하여 혈압을 예측하기 위해, 설명변수가 2개인 중회귀 모형을 적합하려고 한다. 교호작용을 포함하는 모형을 정의하고 가설을 기술하시오.

(2)

위의 모형을 행렬 형태로 표현하시오. \((X, y, \beta, \epsilon\)을 정확하게 표현)

(3)

각각의 회귀 계수의 의미를 설명하시오

적합결여검정

\(H_0: E(y|x) = \beta_0 + \beta_1 x \ \text{vs} \ H_1: E(y|x) \neq \beta_0 + \beta_1 x\)

\(F_0 = \dfrac{SSLF/(k-(p+1))}{SSPE/(n-k)} \sim F(k-p-1, n-k)\)

\(SSLF = \sum \sum (\bar y_i - \hat y_i)^2\)

\(SSPE = \sum(y_{ij} - \bar y_i)^2\)