1
\(X_1, X_2, \dots, X_n\)는 확률밀도함수 \(f(x) = \dfrac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}I(x>0)\)를 가지는 모집단으로부터의 랜덤표본이라고 할 때
(1)
\(T = X_1 + X_2 + \dots + X_n\)라고 할 때 \(T\)의 평균과 분산
\(T=\sum X_i\)
\(E(T) = n\lambda\)
\(Var(T) = n \lambda^2\)
(2)
\(\lambda\)의 최대가능도추정량 MLE \(\hat \lambda_n\)을 유도하시오
\(f(x:\lambda) = \Pi_{i=1}^n \dfrac{1}{\lambda} e^{-x_i/\lambda} I(x> 0)\)
=\((\dfrac{1}{\lambda})^n e^{\sum_{i=0}^n (-x_i / \lambda)}I(x>0)\)
\(l(\lambda) = -nlog \lambda - \dfrac{\sum_{i=0}^n x}{\lambda}\)
\(l'(\lambda) = -\dfrac{n}{\lambda} + \dfrac{\sum_{i=0}^n x}{\lambda^2}=0\)
\(\lambda n = \sum x\)
\(\hat \lambda = \dfrac{\sum x}{n} = \bar x\)
원래는 \(l''(\lambda) < 0\)인지 확인해야함. (볼록함수)
(3)
\(\hat \lambda_n^*\)과 다른 추정량을 제시하고, 어느 추정량이 좋은지 그 판단의 근거를 간단히 기술하시오
적률추정량?
\(\mu_1 = E(x) = \int xf(x)dx= \int x \dfrac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}I(x>0)=\hat \lambda\)
\(\hat \lambda_n^* = \bar X\)
MLE와 MME 중에서 어떤 것이 더 좋은지 판단하기 위해서는 추정량의 편향성, 효율성, 일치성 드응ㄹ 평가해야 한다. 표본 크기에 따른 추정량의 성능도 비교해야한다. 크기가 크고 모집단이 지수분포와 유사한 경우에 MLE추정량이 더 효율적이고 일치성을 보장하는 경향이 있다.
(4)
\(\hat \lambda_n\)의 기댓값
\(E(\hat \lambda_n) = E(\bar X) = \dfrac{1}{n}E(X_1+ \dots + X_n) = \dfrac{1}{n} n \lambda = \lambda\)
(5)
\(\hat \lambda_n\)는 일치추정량 여부를 판단하고, 그 이유를 기술
\(E(\hat \lambda_n - \lambda)^2\)이 0으로 수렴하면 일치추정량
= \(Var(\hat \lambda_n) = Var(\bar X) = \dfrac{1}{n^2} Var(X_1 + \dots + X_n) = \dfrac{n\lambda^2}{n^2} = \dfrac{\lambda^2}{n}\)이므로 0에 수렴한다. 즉 일치추정량이다.
(6)
\(\hat \lambda_n\)의 점근분포를 구체적으로 기술
\(\sqrt{n}(\hat \lambda_n - \lambda ) \rightarrow N(0,\dfrac{1}{I(\lambda)})\)
(7)
가설 \(H_0: \lambda= 1, \text{vs} \ H_1: \lambda \neq 1\)을 가능도비 검정법으로 검정하시오
\(\Lambda =\dfrac{L(\lambda^*)}{L(\lambda)}\)
\(L(\lambda^*) = \Pi_{i=1}^n \dfrac{1}{1}e^{-x_i/1}=e^{-\sum_{i=1}^n x_i}\)
\(L(\lambda) = \Pi_{i=1}^n \dfrac{1}{ \bar X} e^{-x_i/\bar X} = \dfrac{1}{\bar X^n} e^{-\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{\bar X}}=\dfrac{1}{\bar X^n} e^{-n}\)
\(\Lambda = \dfrac{e^{-\sum_{i=1}^n x_i}}{\dfrac{1}{\bar X^n} e^{-n}}=\bar X^n e^{- \bar X}\)
\(-2log(\Lambda) = nlog(\bar X) - \bar X < log C\)
= \(log(\bar X) - \dfrac{\bar X}{n} < \dfrac{logC}{n}\)
= \(log(\dfrac{\bar X}{e^{(\bar X/n)}}) < \dfrac{logC}{n}\)
\(=\dfrac{\bar X}{e^{(\bar X / n)}} < C'\)
이것이..기각역?