모든 풀이는 틀릴 수 있음 하하하 ㅇ_<
1. \(P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right) >0\) 일 때 다음을 증명하시오.
\(\begin{aligned}P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right) =P\left( A_{1}\right) P\left( A_{2}| A_{1}\right) P\left( A_{3}| A_{1}\cap A_{2}\right)P\left( A_{4}| A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right) \end{aligned}\)
\(P( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})\)
= \(P(A_4 \cap A_3 \cap A_2 \cap A_1)\)
= \(P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1) \cdot P(A_3 \cap A_2 \cap A_1)\)
= \(P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1) \cdot P(A_3 \mid A_2 \cap A_1) \cdot P(A_2 \cap A_1)\)
= \(P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1) \cdot P(A_3 \mid A_2 \cap A_1) \cdot P(A_2 \mid A_1) \cdot P(A_1)\)
2. \(A_{1}\)과 \(A_{2}\)가 서로 독립사건일 때 다음 사건들도 독립임을 보이시오.
\(A_{1}\)과 \(A_{2}\)가 서로 독립이므로 \(P(A_{1} \cap A_{2}) = P(A_{1}) P(A_{2})\) 가 성립
(1) \(A_{1}\)과 \(A_{2}^{c}\)
- \(P(A_{1} \cap A_{2}^c)\)
= \(P(A_1) - P(A_1 \cap A_2)\)
= \(P(A_1) - P(A_1) \cdot P(A_2)\)
= \(P(A_1) \cdot (1 - P(A_2))\)
\(= P(A_{1})P(A_{2}^c)\)
(2) \(A_{1}^{c}\)과 \(A_{2}\)
- \(P(A_{2} \cap A_{1}^c)\)
= \(P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)\)
= \(P(A_2) - P(A_1) \cdot P(A_2)\)
= \(P(A_2) \cdot (1-P(A_1))\)
= \(P(A_2) \cdot P(A_1^c)\)
(3) \(A_{1}^{c}\)과 \(A_{2}^{c}\)
- \(P(A_1^c \cap A_2^c)\)
= \(P((A_1 \cup A_2)^c)\)
= \(1-P(A_1 \cup A_2)\)
= \(1 - (P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2))\)
= \(1 - P(A_1) - P(A_2) + P(A_1 \cap A_2)\)
= \(1 - P(A_1) - P(A_2) + P(A_1)P(A_2)\)
= \(1 - P(A_1) - P(A_2)(1-P_{A_1})\)
= \((1-P(A_1))(1-P(A_2))\)
= \(P(A_1^c)P(A_2^c)\)
3. \(A_{1}\)과 \(A_{2}\) 가 서로 독립사건이며 \(P(A_{1}) = 0.6\) , \(P(A_{2}) = 0.3\) 이라 하자. 다음을 계산하시오.
(1) \(P(A_{1} \cap A_{2})\)
\(A_{1}\)과 \(A_{2}\)가 서로 독립이므로 \(P(A_{1} \cap A_{2}) = P(A_{1}) P(A_{2})\) 가 성립
\(P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2) = 0.6 \times 0.3 = 0.18\)
(2) \(P\left( A_{1}\cup A_{2}\right)\)
\(P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) = 0.6 + 0.3 - 0.18 = 0.72\)
(3) \(P(A_{1} \cup A_{2}^{c})\)
\(P(A_{1} \cup A_{2}^c)\)
= \(P(A_1) + P(A_2^c) - P(A_1 \cap A_2^c)\)
= \(P(A_1) + 1 - P(A_2) - ( P(A_1) - P(A_1 \cap A_2))\)
= \(1 - P(A_2) + P(A_1 \cap A_2)\)
= \(1 - 0.3 + 0.18\)
= \(0.88\)
4. 트럼프 카드 한 벌에서 한 장의 카드를 선택한다고 하자. 관측값 \(c\) 는 카드 52장 중 하나이다. 만약 \(c\)가 에이스이면 \(X(c) = 4\) , \(c\)가 킹이면 \(X(c) = 3\)이라 하고, \(c\)가 퀸이면 \(X(c) = 2\), \(c\)가 잭이면 \(X(c) = 1\), 그 외에는 \(X(c) = 0\)이라 하자. \(P\)가 각각의 관측값 \(c\)에 확률 \(\dfrac{1}{52}\)를 부여한다고 하자. 확률변수 \(X\) 값의 확률밀도함수를 구하시오.
\(P(X(c) = 4) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\)
\(P(X(c) = 3) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\)
\(P(X(c) = 2) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\)
\(P(X(c) = 1) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\)
\(P(X(c) = 0) = \dfrac{36}{52} = \dfrac{9}{13}\)
\(f_{x}\left( x\right) =\begin{cases}\dfrac{1}{13} (x=1,2,3,4)\\ \dfrac{9}{13} (x=0) \\ 0 (o.w) \end{cases}\)
5. 다음 각 \(f\left( x\right)\)에 대하여 확률밀도함수가 되기위한 상수 \(c\)를 구하시오.
(1) \(f\left( x\right) = c( \dfrac{2}{3})^x\) \(I\left( x\in \left\{ 0,1,2,\ldots \right\} \right)\)
이럴수가 연속형이 아니라 이산형이였담 두둥 이산형인 경우 저렇게 0,1,2,… 표시되고 연속형인 경우에는 \(x\geq0\) 이렇게 표시됨..ㅠㅠ
각 \(f(x) \geq 0\) 이므로 \(c \geq 0\)
\(\sum _{\forall x_{i}}f\left( x_{i}\right) = 1\) 을 만족하는 상수 c값 찾기
\(\sum ^{\infty}_{0}c( \dfrac{2}{3})^x =\dfrac{\dfrac{2}{3}c}{1-\dfrac{2}{3}}= 2c = 1\)
s.t \(c= \dfrac{1}{2}\)
(2) \(f(x) = cx\) \(I\left( x\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \right)\)
각 \(f(x) \geq 0\) 이므로 \(c \geq 0\)
\(\sum _{\forall x_{i}}f\left( x_{i}\right) = 1\) 을 만족하는 상수 c값 찾기
\(\sum ^{6}_{x=1}f\left( x_{i}\right) = c (1+2+3+4+5+6) = 21 c =1\)
s.t \(c= \dfrac{1}{21}\)
6. 세 개의 상자에는 각각 \(1,2,3,4\)가 적혀있는 네 장의 카드가 들어 있다. 각 상자에서 임의로 카드를 한 장씩 선택하여 \(X\)와 \(Y\)를 다음과 같이 정의할 때, \(X\)와 \(Y\)의 결합확률분포를 구하시오.
\(X\) = 세 장의 카드 중 가장 작은 값, \(Y\) = 세 장의 카드 중 가장 큰 값
전체 경우의 수: \(4 \times 4 \times 4 = 64\)
\(X=1, Y=1\) 인 경우: 1가지 \(\to\) \((1,1,1)\)
\(X=1, Y=2\) 인 경우: 6가지 \(\to\)\((1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)\)
\(X=1, Y=3\) 인 경우: 12가지 \(\to\)\((1,1,3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (1,3,3), (3,1,3), (3,3,1)\)
\(X=1, Y=4\) 인 경우: 18가지 \(\to\)$ (1,1,4), (1,4,1), (4,1,1), (1,2,4), (1,4,2), (2,1,4), (2,4,1), (4,1,2), (4,2,1), (1,3,4), (1,4,3), (3,1,4), (3,4,1), (4,1,3), (4,3,1), (1,4,4), (4,1,4), (4,4,1)$
\(X=2, Y=2\) 인 경우: 1가지 \(\to\) \((2,2,2)\)
\(X=2, Y=3\) 인 경우: 6가지 \(\to\) \((2,2,3), (2,3,2), (3,2,2), (2,3,3), (3,2,3), (3,3,2)\)
\(X=2, Y=4\) 인 경우: 12가지 \(\to\) \((2,2,4), (2,4,2), (4,2,2), (2,3,4), (2,4,3), (3,2,4), (3,4,2), (4,2,3), (4,3,2),(2,4,4),(4,2,4),(4,4,2)\)
\(X=3, Y=3\) 인 경우: 1가지 \(\to\) \((3,3,3)\)
\(X=3, Y=4\) 인 경우: 6가지 \(\to\) \((3,3,4), (3,4,3), (4,3,3), (3,4,4), (4,3,4), (4,4,3)\)
\(X=4, Y=4\) 인 경우: 1가지 \(\to\) \((4,4,4)\)
\(X\) 와 \(Y\)의 결합확률분포 \(f_{x,y} (x,y)\) 는 아래 표로 나타낼 수 있다.
| X | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1 | \(\dfrac{1}{64}\) | 0 | 0 | 0 | |
| 2 | \(\dfrac{6}{64}\) | \(\dfrac{1}{64}\) | 0 | 0 | |
| Y | 3 | \(\dfrac{12}{64}\) | \(\dfrac{6}{64}\) | \(\dfrac{1}{64}\) | 0 |
| 4 | \(\dfrac{18}{64}\) | \(\dfrac{12}{64}\) | \(\dfrac{6}{64}\) | \(\dfrac{1}{64}\) |
7. 두 확률변수 \(X_{1}\)과 \(X_{2}\)의 결합확률밀도함수가 \(f(x_{1},x_{2}) = 4x_{1} x_{2} I( 0 <x_{1} <1,0 <x_{2} < 1)\) 일 때 다음 확률을 구하시오.
항상 계산이.. 계싼이 어려워……. 이중적분하는거 거의까먹어서 다틀릴수도..!
(1) \(P(0 < X_{1} < \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4} < X_{2} < 1)\)
\(\int \int _{A}f\left( x_{1},x_{2}\right) dx_{1}dx_{2} = \int _{0}^{1/2}\int _{1/4}^{1}4x_{1}x_{2}dx_{2}dx_{1} = \dfrac{15}{64}\)
(2) \(P(X_{1} = X_{2})\)
\(\int _{0}^{.1}\int ^{x_{1}}_{x_{1}}4x_{1}x_{2}dx_{2}dx_{1} = 0\)
(3) \(P(X_{1} < X_{2})\)
(4) \(P( X_{1}\leq X_{2})\)
(2)에서 \(P(X_{1} = X_{2}) = 0\) 이므로 (3)식과 (4)식의 확률값은 동일하다.
\(\int \int _{A}f\left( x_{1},x_{2}\right) dx_{1}dx_{2} = \int _{0}^{1}\int _{0}^{x_2}4x_{1}x_{2}dx_{1}dx_{2} = \int _{0}^{1}2x_{2}^{3}dx_{2} = \dfrac{1}{2}\)