1번
(a)
사건 A와 B가 상호배반일 때 \(P(A|A ∪ B) = \dfrac{P(A)}{P(A) + P(B)}\)임을 보이시오
상호배반이라는 것은 \(P(A \cap B)=\emptyset\)이므로, \(P(A|A\cup B)=\dfrac{P(A)\cap P(A \cup B)}{P(A \cup B) }=\dfrac{P(A)}{P(A)+P(B)}\)
(b)
\(A ∪ B = S\)이고 \(P(A) = 0.8, P(B) = 0.5\)일 때 \(P(A ∩ B)\)를 구하시오.
\(P(A \cup B) = P(S) = 1 = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\(P(A \cap B) = 0.3\)
(c)
\(P(A|B) = P(A|B^c)\)이면 사건 A와 B는 서로 독립임을 보이시오.
좌변 \(P(A|B) = \dfrac{P(A) \cap P(B)}{P(B)}\) 이고
우변 \(P(A|B^c) = \dfrac{P(A)}{P(A \cap B^C)} = \dfrac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)}\)
전개하면,
\(P(A \cap B) - P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B) - P(B)P(A \cap B)\)
\(\therefore P(A \cap B) = P(A)P(B)\)이므로 \(A\)와 \(B\)는 서로 독립이다.
2번
앞면이 나올 확률이 \(0.2\)인 동전을 두 번 앞 면이 나올 때까지 던지는 실험을 하고 있다. 이 실험에서 뒷면이 나온 횟수를 \(X\)라고 하자. 다음에 답하시오.
(a)
\(X\)가 \(1\)의 값을 가지는 사건을 실험 결과들의 집합으로 기술하시오. (단, 앞면은 \(H\), 뒷면은 \(T\)로 나타내시오.)
\(X=1 \to \{TH,HT\}\)
(b)
\(X\)의 확률밀도함수 \(f_X(x)\)를 구하시오. (주의: \(x\)의 범위도 구체적으로 기술 )
\(X\) ~ \(NB(2,\frac{1}{5})\)
\(f_X(x) = (x-1) \frac{1}{5}^2 (1- \frac{1}{5})^{x-2} = (x-1)(\frac{1}{5})^2(\frac{4}{5})^{x-2}\)
3번
서로 독립인 확률변수 \(Y_1, Y_2, Y_3\)의 평균과 분산은 다음과 같다고 한다.
\[E(Y_k) = −2 + k, Var(Y_k) = 4, k = 1, 2, 3\]
(a)
\(E[(Y_2)^2]\)을 구하시오.
| 구분 | \(E(Y_k)\) | \(Var(Y_K)\) |
|---|---|---|
| \(Y_1\) | -1 | 4 |
| \(Y_2\) | 0 | 4 |
| \(Y_3\) | 1 | 4 |
\(E[(Y_2)^2] = Var(Y_2) + [E(Y_2)]^2 = 4 + 0 = 4\)
(b)
\(Y_1 + 2Y_2 − Y_3\)의 기대값과 분산을 구하시오.
\(E(Y_1 + 2Y_2 − Y_3) = E(Y_1) + 2E(Y_2) - E(Y_3) = -1+0-1 = -2\)
\(Var(Y_1 + 2Y_2 − Y_3) = Var(Y_1) + 4Var(Y_2) + Var(Y_3) = 4+16+4 = 24\)
(c)
\(Corr(Y_1 + Y_2, Y_1 − Y_2)\)을 구하고, 그 값을 해석하시오.
\(Corr(Y_1 + Y_2, Y_1 − Y_2)= cov(\frac{Y_1+Y_2 - E(Y_1+Y_2)}{S.D(Y_1,Y_2)}, \frac{Y_1-Y_2 - E(Y_1-Y_2)}{S.D(Y_1,Y_2)})\)
\(=\dfrac{cov(Y_1+Y_2, Y_1-Y_2)}{\sqrt{Var(Y_1+Y_2) Var(Y_1-Y_2)}}\)
분자 \(cov(Y_1+Y_2, Y_1-Y_2) = cov(Y_1,Y_1)-cov(Y_1,Y_2)+cov(Y_2,Y_1) - cov(Y_2,Y_2) = Var(Y_1) - Var(Y_2) = 0\) 이므로 상관계수는 0이고 \(Y_1+Y_2\)와 \(Y_1-Y_2\)는 서로 완전 독립이며 아무 상관이 없다.
4번
두 확률변수 \(X, Y\)의 결합 확률밀도함수가 \(f_{X,Y}(x, y) = 24xyI(0 < x < 1, 0 < y < 1 − x)\)일 때, \(P(Y < X, Y < 1/4)\)을 구하시오.
\(P(Y < X, Y < 1/4) = \begin{aligned}\int \int \\ \begin{pmatrix} y <x \\ y <\dfrac{1}{4} \end{pmatrix}\end{aligned}f_{X,Y}(x,y)dxdy=\begin{aligned}\int \int \\ \begin{pmatrix} y <x \\ y <\dfrac{1}{4} \\ 0 <x <1 \\ 0 <y <1-x \end{pmatrix}\end{aligned} 24xydxdy\)
= \(\int_0^{1/2} \int_0^x 24xydydx + \int_{1/2}^1 \int_0^{1-x} 24xydydx - \int_{1/4}^{1/2} \int_{1/4}^x 24xydydx - \int_{1/2}^{3/4} \int_{1/4}^{1-x}24xydydx\)
=\(\frac{3}{16} +\frac{5}{16}-\frac{27}{256}-\frac{37}{256} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
5번
두 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 결합확률밀도함수가 \(f_{X,Y}(x, y) = 2e{−(x+y)}I(0 < x < y, y > 0)\)으로 주어져 있다.
(a)
\(X\)의 주변확률밀도함수 \(f_X(x)\)를 구하시오. (주의 : \(x\)의 범위도 명확히 기술)
\(f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dy = \int_x^\infty 2e^{-(x+y)}dy = 2e^{-x}\int_x^\infty e^{-y}dy = 2e^{-2x}I(x>0)\)
(b)
\(E(X)\)를 구하시오.
\(E(X) = \int_{-\infty}^\infty xf_X(x)dx = \int_0^\infty 2xe^{-2x}dx = \frac{1}{2}\)
(c)
\(Var(Y|X=2)\)을 구하시오.
\(f_{Y|X}(y|x)= \dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}= \dfrac{2e^{-(x+y)I(0<x<y,y>0)}}{2e^{-2x}I(x>0)}=e^{x-y}I(x<y,y>0)\)
\(Var(Y|X)=E(Y^2|X)-[E(Y|X)]^2\)이므로
\(E(Y^2|X)=\int_{-\infty}^\infty y^2 f_{Y|X}(y|x)dy = \int_x^\infty y^2e^{x-y}dy = e^x \left[-e^{-y}(y^2+2y+2) \right]_x^\infty = x^2+2x+2\)
\(E(Y|X)=\int_{-\infty}^\infty yf_{Y|X}(y|x) dy = \int_x^\infty ye^{x-y}dy = x+1\)
\(Var(Y|x=2)=E(Y^2|x=2)-[E(Y|x=2)]^2=10-3^2=1\)
6번
서로 독립인 두 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 적률생성함수가 각각 다음과 같을 때 \(E(X^2Y)\)를 구하시오.
\[M_X(t) = \dfrac{1}{1 − 2t}, M_Y(t) = \dfrac{1}{1 − 4t + 4t^2}\]
\(X,Y\)가 서로 독립이므로 \(E(X^2Y)=E(X^2)E(Y)\)이다.
$E(X^2)은 \(X\)의 2차적률의 \(t=0\)의 값이므로
\(M_X^{'}(t) = \dfrac{2}{(1-2t)^2}, M_X^2(t) = \dfrac{-4(1-2t)(-2)}{(1-2t)^4}\)이다.
\(M_X^2(0)=E(X^2)=8\)
\(M_Y^{'}(t)=\dfrac{-2(2t-1)2}{(2t-1)^4}\)이며 \(M_Y^{'}(0)=E(Y)=4\)
\(\therefore E(X^2Y)=8 \times 4 =32\)
7번
\(X_1, X_2, . . . , X_5\)은 서로 독립이고 ‘성공’ 확률이 \(p\)인 베르누이 분포를 따른다고 하자. 다음을 구하시오.
(a)
\(X_1\)의 적률생성함수
\(X_1\)의 pdf는 \(f_{X_1}(x_1) = p^{x_1}(1-p)^{1-x_1}(x_1=0,1)\)
\(X_1\)의 mgf는 \(M_{X_1}(t)=E(e^{tx_1})=\sum_{x_1=0}^1 e^{tx_1}f(x_1) = e^0 f(0) + e^tf(1) = 1-p+e^t p\)
(b)
\(P(X_1 + X_2 + · · · + X_5 ≥ 2)\)
\(Z=X_1+\dots +X_5\)라고 하면, \(Z\)는 이항분포를 따른다. \(Z\) ~ \(B(5,p)\)
즉, \(P(Z \geq 2) = 1-P(Z<2) = 1-P(Z=0) - P(Z=1)\)
\(P(Z=0) = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} p^0 (1-p)^5 = (1-p)^5\)
\(P(Z=1) = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} p^1 (1-p)^4 = 5p(1-p)^4\)
\(P(X_1+\dots+X_5 \geq 2) = 1 - (1-p)^4(1+4p)\)
(c)
\(E(X_1|X_1 + X_2 + · · · + X_5 = 3)\)
\(\sum x_1 f_{x_1|z}(x_1|z) = 0 \times f_{x_1|z}(x_1=0|z=3) + 1 \times f_{x_1|z}(x_1=1|z=3)\)
\(f_{x_1|z}(x_1=1|z=3)\)은 \(x_1=1, x_1+\dots+x_5=3\)일 때의 조건부 확률 밀도 함수
\(f_{x_1|z}(x_1|z)=\dfrac{f_{X_1,Z}(x_1,z)}{f_Z(z)}\)
분모 \(f_Z(z=3) = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} p^3 (1-p)^2\)이고
분자 \(f_{X_1,Z}(x_1=1,z=3)\)은 \(x_2+x_3+x_4+x_5=2\)이므로 (단 \(x_1=1\)) \(f_{X_1,Z}(x_1=1,z=3)=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} p^2 (1-p)^2\)
\(\therefore E(X_1|X_1+\dots+X_5=3) = \dfrac{{}_{4}C_{2}p^2 (1-p)^2}{{}_{5}C_{3}p^3 (1-p)^2}=\dfrac{3p}{5}\)
8번
\(X_1,X_2,\dots,X_n\)이 \(U(0,\theta)\)로부터의 랜덤표본이라고 할 때, 다음을 구하시오.
(1)
\(X_{(1)}\)과 \(X_{(n)}\)의 결합확률밀도함수
\(f(x)=\frac{1}{\theta}I(0 \leq x \leq \theta)\)
\(F(x)=\frac{x}{\theta}I(0 \leq x \leq \theta)\)
\(f_{X_{(n)},X_{(1)}}(x_{(n)},x_{(1)})=\dfrac{n!}{1!(n-2)!1!}f(x_1) (F(X_n)-F(X_1))^{n-2}f(x_n)\)
=\(\dfrac{n(n-1)}{\theta} \left( \dfrac{X_n-X_1}{\theta} \right)^{n-2} \dfrac{1}{\theta}\)
=\(\dfrac{n(n-1)}{\theta^2} \left( \dfrac{X_n-X_1}{\theta} \right)^{n-2}\)
(2)
표본범위 \(X_{(n)} - X_{(1)}\)의 확률밀도함수
\(R=X_{(n)}-X_{(1)}, S=X_{(1)}\)로 놓으면 \(X_{(n)}=R+S, X_{(1)}=S, |J|=1, 0<S<R+S<\theta\)
\(g(R,S)=f(S,R+S)|J| = \dfrac{n(n-1)}{\theta^2} \left(\dfrac{R}{\theta} \right)^{n-2}I(0<S<R+S<\theta)\)
\(g(R)= \dfrac{n(n-1)}{\theta^n} R^{n-2} \int_0^{\theta-R} 1 ds = \dfrac{n(n-1)}{\theta^n}R^{n-2}(\theta-R)I(0<R<\theta)\)
9번
\(X_1,X_2,\dots,X_n\)이 \(EXP(\lambda)\), 즉 \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}I(x>0)\)로부터의 랜덤표본이라고 할 때, 다음을 구하시오.
(1)
\(X_{(1)}\)의 확률밀도함수
\(F(x)=1-e^{-\lambda x}I(x>0)\)
\(f_{X_{(1)}}(x)=n \left[ 1-(1-e^{-\lambda x)} \right]^{n-1} \lambda e^{-\lambda x} = n \lambda e^{-\lambda x n}\)
(2)
\(X_{(n)}\)의 확률밀도함수
\(f_{X_{(n)}}(x) = n \left[ 1-e^{-\lambda x} \right]^{n-1} \lambda e^{-\lambda x}I(x>0)\)
(3)
\(n=2r+1\)이라고 가정하고, 표본중위수 \(X_{(r)}\)의 확률밀도함수
\(f_{X_{r}}= \dfrac{(2r+1)!}{(r-1)!(r+1)!}(1-e^{-\lambda x})^{r-1}(\lambda e^{-\lambda x})(1-(1-e^{-\lambda x})^{r+1}\)
\(=\dfrac{(2r+1)!}{(r-1)!(r+1)!}(1-e^{-\lambda x})^{r-1} \lambda e^{-\lambda x (r+2)}\)